Question

15．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，-1），$\overrightarrow{b}$=$（{\sqrt{3}cosx，-\frac{1}{2}}）$．函數f（x）=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$-2．
（1）求函數f（x）的單調遞減區間；
（2）已知a，b，c分別為△ABC內角A，B，C 的對邊，其中A為銳角，a=2$\sqrt{3}$，c=4，且f（A）=1，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據函數f（x）=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$-2，利用向量的運算可得f（x）的解析式，即可求出函數f（x）的單調遞減區間．
（2）根據f（A）=1，求出角A的大小，利用余弦定理求出b，即可求△ABC的面積．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，-1），$\overrightarrow{b}$=$（{\sqrt{3}cosx，-\frac{1}{2}}）$．
函數f（x）=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$-2=|$\overrightarrow{a}$|²+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-2
=sin²x+1+$\sqrt{3}$sinxcosx+$\frac{1}{2}-2$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x$-\frac{1}{2}$
=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
令$\frac{π}{2}+2kπ≤$2x-$\frac{π}{6}$$≤\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：$\frac{π}{3}+kπ$≤x≤$\frac{5π}{6}+kπ$
所以函數f（x）的單調遞減區間為[$\frac{π}{3}+kπ$，$\frac{5π}{6}+kπ$]，k∈Z．
（2）由（1）可知f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）
那么f（A）═sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1
∵$0＜A＜\frac{π}{2}$，
∴$-\frac{π}{6}＜$2A-$\frac{π}{6}$$＜\frac{5π}{6}$．
∴2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$．
則A=$\frac{π}{3}$．
由余弦定理：a²=b²+c²-2bc•cosA
可得：12=b²+16-4b，
解得：b=2．
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$cbsinA=$4\sqrt{3}$．

點評 本題考查了向量的運算和三角函數的化解能力和性質的運用，以及余弦定理的計算．屬于基礎題．