Question

4．如圖，空間四邊形OABC中，M、N分別是對邊OA、BC的中點，點G在線段MN上，分$\overrightarrow{MN}$所成的定比為2，$\overrightarrow{OG}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}$，則x、y、z的值分別為$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 根據$\overrightarrow{OG}$=$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MG}$，$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{MG}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{MN}$，$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}$，$\overrightarrow{ON}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）$，代入計算即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{OG}$=$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MG}$，$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{MG}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{MN}$，
$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}$，$\overrightarrow{ON}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）$，
∴$\overrightarrow{OG}$=$\frac{1}{6}\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$．
∴$x=\frac{1}{6}$，$y=z=\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了向量平行四邊形法則、向量共線定理、空間向量基本定理，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．