Question

16．某同學同時擲兩顆骰子，得到點數分別為a，b，則橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e＞$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$的概率是$\frac{5}{18}$．

Answer 1

分析 先求出基本事件總數n=6×6=36，由橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e＞$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，得到a＞$\frac{3}{2}b$，由此利用列舉法能求出滿足橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e＞$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$的概率．

解答 解：某同學同時擲兩顆骰子，得到點數分別為a，b，
基本事件總數n=6×6=36，
∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e＞$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，
∴e=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}＞\frac{\sqrt{5}}{3}$，推導出a＞$\frac{3}{2}b$，
∴滿足橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e＞$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$的基本事件有：
（2，1），（3，1），（4，1），（4，2），（5，1），（5，2），（5，3），（6，1），（6，2），（6，3），
共有10個，
∴橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e＞$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$的概率為p=$\frac{10}{36}=\frac{5}{18}$．
故答案為：$\frac{5}{18}$．

點評 本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等可能事件概率計算公式和列舉法的合理運用．