Question

6．已知$|{\overrightarrow a}|=4，|{\overrightarrow b}|=5，\overrightarrow c=λ\overrightarrow a+μ\overrightarrow b（λ，μ∈$R），若$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b，\overrightarrow c⊥（{\overrightarrow b-\overrightarrow a}）$，則$\frac{λ}{μ}$=$\frac{25}{16}$．

Answer 1

分析 $\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，且|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=5，可設$\overrightarrow{a}$=（4，0），$\overrightarrow{b}$=（0，5）．再利用向量垂直與數量積的關系即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，且|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=5，
∴可設$\overrightarrow{a}$=（4，0），$\overrightarrow{b}$=（0，5）．
∴$\overrightarrow{c}$=（4λ，5μ）．
∵$\overrightarrow{c}$⊥（$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$）．
∴$\overrightarrow{c}$•（$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$）=-16λ+25μ=0．
∴$\frac{λ}{μ}$=$\frac{25}{16}$．
故答案為：$\frac{25}{16}$．

點評 本題考查了向量垂直與數量積的關系、向量坐標運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．