Question

15．已知函數f（x）=$\frac{{lnx+{{（x-b）}^2}}}{x}$，若存在x∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得xf'（x）+f（x）＞0，則實數b的取值范圍是（　　）

• A． $（-∞，\frac{3}{2}）$
• B． $（-∞，\frac{3}{2}]$
• C． $（-∞，\frac{9}{4}）$
• D． $（-∞，\frac{9}{4}]$

Answer 1

分析 求導函數，問題化簡轉化為b＜x+$\frac{1}{2x}$，設g（x）=x+$\frac{1}{2x}$，只需b＜g（x）_max，結合函數的單調性可得函數的最大值，故可求實數b的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{lnx+{{（x-b）}^2}}}{x}$，x＞0，
∴f′（x）=$\frac{1+2x（x-b）-lnx-（{x-b）}^{2}}{{x}^{2}}$，
∴f（x）+xf′（x）=$\frac{1+2x（x-b）}{x}$，
∵存在x∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，
∴1+2x（x-b）＞0
∴b＜x+$\frac{1}{2x}$，
設g（x）=x+$\frac{1}{2x}$，
∴b＜g（x）_max，
∴g′（x）=$\frac{2{x}^{2}-1}{2{x}^{2}}$，
當g′（x）=0時，解得：x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當g′（x）＞0時，即$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜x≤2時，函數單調遞增，
當g′（x）＜0時，即$\frac{1}{2}$≤x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，函數單調遞減，
∴當x=2時，函數g（x）取最大值，最大值為g（2）=$\frac{9}{4}$，
∴b＜$\frac{9}{4}$，
故選：C．

點評 本題考查導數知識的運用，考查恒成立問題，考查函數的最值，屬于中檔題．