Question

3．設直線y=kx+1與圓x²+y²+2x-my=0相交于A，B兩點，若點A，B關于直線l：x+y=0對稱，則|AB|=$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 直線y=kx+1與圓x²+y²+2x-my=0交于M、N兩點，且M、N關于直線x+y=0對稱，則直線x+y=0過圓心且與直線y=kx+1垂直，可求出k、m，利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，再由垂徑定理求解|MN|．

解答 解：由題意可知，直線y=-x過圓心，且與直線y=kx+1垂直，
∴k=1，
圓x²+y²+2x-my=0的圓心坐標（-1，$\frac{m}{2}$）在直線x+y=0上，
∴-1$+\frac{m}{2}=0$，解得m=2，圓心坐標（-1，1），
x²+y²+2x-2y=0的半徑r=$\frac{1}{2}\sqrt{{2}^{2}+（-2）^{2}-4×0}=\sqrt{2}$，
圓心到直線y=x+1的距離為$\frac{|-1-1+1|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
因而弦長是$2\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}=\sqrt{6}$．
故答案為：$\sqrt{6}$．

點評 本題考查圓的一般方程，直線與圓位置關系的應用，訓練了利用垂徑定理求弦長，是中檔題．