Question

6．已知在數列{a_n}中，${a_1}=\frac{3}{2}，{a_{n+1}}=a_n^2-2{a_n}+2$．，n∈N*
（1）求證：1＜a_n+1＜a_n＜2；
（2）求證：$\frac{6}{{{2^{n-1}}+3}}≤{a_n}≤\frac{{{2^{n-1}}+2}}{{{2^{n-1}}+1}}$；
（3）求證：n＜s_n＜n+2．

Answer 1

分析 （1）先用數學歸納法證明1＜a_n＜2．由.${a_{n+1}}-{a_n}=a_n^2-3{a_n}+2=（{{a_n}-1}）（{{a_n}-2}）＜0$．
可證得1＜a_n+1＜a_n＜2成立．
（2）${a_1}=\frac{3}{2}=\frac{6}{{3+{2^{1-1}}}}，{a_2}=\frac{5}{4}＞\frac{6}{{3+{2^{2-1}}}}$，
當n≥3時，由${a_{n+1}}=a_n^2-2{a_n}+2$，得$2-{a_{n+1}}=2{a_n}-a_n^2$，
$⇒\frac{1}{{2-{a_{n+1}}}}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{{2-{a_n}}}+\frac{1}{a_n}}）＜\frac{1}{2}（{\frac{1}{{2-{a_n}}}+1}）$，$⇒\frac{1}{{2-{a_{n+1}}}}-1＜\frac{1}{2}（{\frac{1}{{2-{a_n}}}-1}）$
$⇒\frac{1}{{2-{a_n}}}-1＜\frac{1}{{{2^{n-1}}}}（{\frac{1}{{2-{a_1}}}-1}）=\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$$⇒{a_n}≤\frac{{{2^{n-1}}+2}}{{{2^{n-1}}+1}}$
即可證得$\frac{6}{{{2^{n-1}}+3}}≤{a_n}≤\frac{{{2^{n-1}}+2}}{{{2^{n-1}}+1}}$
（3）由（1）1＜a_n＜2得s_n＞n
由（2）得${a_n}≤\frac{{{2^{n-1}}+2}}{{{2^{n-1}}+1}}=1+\frac{1}{{{2^{n-1}}+1}}＜1+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$，
${s_n}＜（{1+\frac{1}{{{2^{1-1}}}}}）+（{1+\frac{1}{{{2^{2-1}}}}}）+…+（{1+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}}）=n+\frac{{1-\frac{1}{2^n}}}{{1-\frac{1}{2}}}=n+2（{1-\frac{1}{2^n}}）＜n+2$

解答 證明：（1）先用數學歸納法證明1＜a_n＜2．
①．n=1時$1＜{a_1}=\frac{3}{2}＜2$，
②．假設n=k時成立，即1＜a_k＜2．
那么n=k+1時，${a_{k+1}}=a_k^2-2{a_k}+2∈（{1，2}），{a_k}∈（{1，2}）$成立．
由①②知1＜a_n＜2，n∈N*恒成立.${a_{n+1}}-{a_n}=a_n^2-3{a_n}+2=（{{a_n}-1}）（{{a_n}-2}）＜0$．
所以1＜a_n+1＜a_n＜2成立．
（2）${a_1}=\frac{3}{2}=\frac{6}{{3+{2^{1-1}}}}，{a_2}=\frac{5}{4}＞\frac{6}{{3+{2^{2-1}}}}$，
當n≥3時，$\frac{6}{{{2^{n-1}}+3}}＜1$而1＜a_n＜2．所以${a_n}≥\frac{6}{{{2^{n-1}}+3}}$．
由${a_{n+1}}=a_n^2-2{a_n}+2$，得$2-{a_{n+1}}=2{a_n}-a_n^2$，
$⇒\frac{1}{{2-{a_{n+1}}}}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{{2-{a_n}}}+\frac{1}{a_n}}）＜\frac{1}{2}（{\frac{1}{{2-{a_n}}}+1}）$
$⇒\frac{1}{{2-{a_{n+1}}}}-1＜\frac{1}{2}（{\frac{1}{{2-{a_n}}}-1}）$
$⇒\frac{1}{{2-{a_n}}}-1＜\frac{1}{{{2^{n-1}}}}（{\frac{1}{{2-{a_1}}}-1}）=\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$$⇒{a_n}≤\frac{{{2^{n-1}}+2}}{{{2^{n-1}}+1}}$
所以$\frac{6}{{{2^{n-1}}+3}}≤{a_n}≤\frac{{{2^{n-1}}+2}}{{{2^{n-1}}+1}}$
（3）由（1）1＜a_n＜2得s_n＞n
由（2）得${a_n}≤\frac{{{2^{n-1}}+2}}{{{2^{n-1}}+1}}=1+\frac{1}{{{2^{n-1}}+1}}＜1+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$，
${s_n}＜（{1+\frac{1}{{{2^{1-1}}}}}）+（{1+\frac{1}{{{2^{2-1}}}}}）+…+（{1+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}}）=n+\frac{{1-\frac{1}{2^n}}}{{1-\frac{1}{2}}}=n+2（{1-\frac{1}{2^n}}）＜n+2$

點評 本題考查了數列遞推式，數學歸納法，及數列與不等式，屬于難題．