Question

13．若$sinα+cosα=\sqrt{2}$，則$sin（α+\frac{π}{3}）$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$．

Answer 1

分析 由兩角和的正弦函數公式可得：$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，解得：α=2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，進而利用兩角和的正弦函數公式即可 計算得解．

解答 解：∵$sinα+cosα=\sqrt{2}$，可得：$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，
∴sin（α+$\frac{π}{4}$）=1，可得：α+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：α=2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
∴$sin（α+\frac{π}{3}）$=sin（2kπ+$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{3}$）=sin（$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$）=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$．

點評 本題主要考查了兩角和的正弦函數公式在三角函數化簡求值中的應用，屬于基礎題．