Question

3．給出下列結論：
①扇形的圓心角為120°，半徑為2，則扇形的弧長是$\frac{4π}{3}$；
②某小禮堂有25排座位，每排20個，一次心理學講座，禮堂中坐滿了學生，會后為了了解有關情況，留下座位號是15的所有25名學生進行測試，這里運用的是系統抽樣方法；
③一個人打靶時連續射擊兩次，則事件“至少有一次中靶”與事件“兩次都不中靶”互為對立事件；
④若0＜x＜$\frac{π}{2}$，則tanx＞x＞sinx；
⑤若數據x₁，x₂，…，x_n的方差為8，數據2x₁+1，2x₂+1，…，2x_n+1的方差為16．
其中正確結論的序號為①②③④．  （把你認為正確結論的序號都填上）

Answer 1

分析 ①，扇形的圓心角為120°，半徑為2，則扇形的弧長l=αr=$\frac{4π}{3}$；
②，根據系統抽樣方法的定義②正確；
③，直接根據對立事件的定義，可得事件“至少有一次中靶”的對立事件，從而得出結論；
④，當0＜x＜$\frac{π}{2}$時，令f（x）=x-sinx，g（x）=tanx-x，根據單調性給予判定．
⑤，根據數據2x₁+1，2x₂+1，…，2x_n+1的方差是x₁，x₂，x₃，…，x_n的方差的2²倍．

解答 解：對于①，扇形的圓心角為120°，半徑為2，則扇形的弧長l=αr=$\frac{4π}{3}$，故①正確；
對于②，根據系統抽樣方法的定義②正確；
對于③，直接根據對立事件的定義，可得事件“至少有一次中靶”的對立事件，從而得出③正確；
對于④，當0＜x＜$\frac{π}{2}$時，令f（x）=x-sinx，g（x）=tanx-x，則f′（x）=1-cosx＞0，g′（x）=$\frac{1}{co{s}^{2}x}$-1＞0，
故f（x）和g（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上單調遞增，故f（x）＞f（0）=0，g（x）＞g（0）=0，∴x＞sinx，且tanx＞x，∴sinx＜x＜tanx．故正確；
對于⑤，根據數據2x₁+1，2x₂+1，…，2x_n+1的方差是x₁，x₂，x₃，…，x_n的方差的2²倍．故錯．
故答案為：①②③④

點評 本題考查了命題真假的判定，涉及到了大量的基礎知識，屬于中檔題．