Question

3．已知函數f（x）=2x³-ax²+8．
（1）若f（x）＜0對?x∈[1，2]恒成立，求實數a的取值范圍；
（2）是否存在實數a，使得函數g（x）=f（x）+4ax²-12a²x+3a³-8在區間（0，1）上存在極小值，若存在，求出實數a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）分離參數，得到a＞2x+$\frac{8}{{x}^{2}}$，設$h（x）=2x+\frac{8}{x^2}$，求出函數的導數，根據函數的單調性求出a的范圍即可；
（2）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間，求出函數的極值即可．

解答 解：（1）由f（x）＜0得：a＞$\frac{{2x}^{3}+8}{{x}^{2}}$=2x+$\frac{8}{{x}^{2}}$，
設$h（x）=2x+\frac{8}{x^2}$，則$h′（x）=2-\frac{16}{x^3}$，
∵x∈[1，2]，∴h′（x）≤0，則h（x）在[1，2]上是減函數，
∴h（x）_max=h（1）=10，∵f（x）＜0對?x∈[1，2]恒成立，
即$a＞2x+\frac{8}{x^2}$對?x∈[1，2]恒成立，
∴a＞10，則實數a的取值范圍為（10，+∞）．…（6分）
（2）∵g（x）=2x³+3ax²-12a²x+3a³，
∴g′（x）=6x²+6ax-12a²=6（x-a）（x+2a），
②a=0時，g′（x）≥0，g（x）單調遞增，無極值．
②當a＞0時，若x＜-2a，或x＞a，則g′（x）＞0；
若-2a＜x＜a，則g′（x）＜0．
∴當x=a時，g（x）有極小值．∵g（x）在（0，1）上有極小值，∴0＜a＜1．
③當a＜0時，若x＜a或x＞-2a，則g′（x）＞0；
若a＜x＜-2a，則g′（x）＜0．
∴當x=-2a時，g（x）有極小值．∵g（x）在（0，1）上有極小值，
∴0＜-2a＜1，得$-\frac{1}{2}＜a＜0$．
由①②③得，不存在整數a，使得函數g（x）在區間（0，1）上存在極小值．…（12分）

點評 本題考查了函數的單調性、最值、極值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道綜合題．