Question

11．已知函數f（x）=2cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）+1，x∈R．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期及單調遞增區間；
（Ⅱ）將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{3}$個單位得到函數g（x）的圖象，若x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，求函數g（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數的最小正周期，最后將內層函數看作整體，放到正弦函數的增區間上，解不等式得函數的單調遞增區間；
（Ⅱ）通過平移求出g（x）的解析式，x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上時，求出內層函數的取值范圍，結合三角函數的圖象和性質，求出f（x）的最大值和最小值，即得到f（x）的值域．

解答 解：函數f（x）=2cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）+1，x∈R．
化簡可得：f（x）=2cosxsinxcos$\frac{π}{6}$+2cos²xsin$\frac{π}{6}$+1
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}+1$
=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$
（Ⅰ）函數f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$；
由f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$
由2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．
解得：-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z．
故函數f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$的單調遞增區間為[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z．
（Ⅱ）f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{3}$個單位得到：sin[2（x-$\frac{π}{3}$）x+$\frac{π}{6}$]+$\frac{3}{2}$=sin（2x$-\frac{π}{2}$）$+\frac{3}{2}$=g（x）
∴$g（x）=-cos2x+\frac{3}{2}$，
∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
∴$-\frac{π}{3}≤2x≤\frac{2π}{3}$．
∴-$\frac{1}{2}$≤cos2x≤1．
∴函數的值域為$[{\frac{1}{2}，2}]$．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．