Question

20．已知函數f（x）=lg（x²+ax+b）的定義域為A，$g（x）=\sqrt{k{x^2}+4x+k+3}$的定義域為B．
（1）若B=R，求k的取值范圍；
（2）若（∁_RA）∩B=B，（∁_RA）∪B={x|-2≤x≤3}，求實數a，b的值及實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的定義域，結合根式的意義進行求解即可．
（2）根據集合的運算建立方程即可．

解答 解：（1）因為B=R?kx²+4x+k+3≥0恒成立，k=0時，4x+3≥0不恒成立；
k≠0時，由$\left\{\begin{array}{l}k＞0\\△=16-4k（k+3）≤0\end{array}\right.$，
解得k≥1，
綜上，k∈[1，+∞）．
（2）因為（C_RA）∩B=B，所以，B⊆（C_RA），
所以（C_RA）∪B=C_RA={x|-2≤x≤3}
所以A={x|x＜-2或x＞3}，即x²+ax+b＞0的解集為{x|x＜-2或x＞3}．
所以有$\left\{\begin{array}{l}-2+3=-a\\-2×3=b\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=-6\end{array}\right.$；
因為B={x|kx²+4x+k+3≥0}且B⊆{x|-2≤x≤3}，
所以k＜0，設方程kx²+4x+k+3=0的兩根分別為x₁，x₂，則x₁x₂∈[-2，3]，
令h（x）=kx²+4x+k+3，則應有$\left\{\begin{array}{l}△≥0\\ h（-2）≤0\\ h（3）≤0\\-2≤-\frac{2}{k}≤3\end{array}\right.$$⇒-4≤k≤-\frac{3}{2}$，
所以k的取值范圍是$[-4，-\frac{3}{2}]$．

點評 本題主要考查集合的基本運算，根據函數成立的條件求出函數的定義域是解決本題的關鍵．