分析 (1)求出函數的導數,計算f(1),f′(1)的值,求出切線方程即可;
(2)求出函數的導數,解關于導函數的不等式,通過討論a的范圍,求出函數的單調區間即可.
解答 解:(1)∵$f(x)=-\frac{x^2}{2}+({a-1})x+({2-a})lnx+\frac{3}{2}({a<3})$,
∴$f(1)=a,f'(x)=-x+a-1+\frac{2-a}{x}$,f'(1)=0,
∴y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y=a;
(2)∵$f'(x)=-x+a-1+\frac{2-a}{x}=\frac{{-{x^2}+({a-1})x+2-a}}{x}({x>0})$,
∴f'(x)>0?-x2+(a-1)x+2-a>0,
f'(x)<0?-x2+(a-1)x+2-a<0,
令g(x)=-x2+(a-1)x+2-a=0,解得x1=1,x2=a-2,
由已知,a<3,
①當2<a<3時,0<x2<x1,g(x)>0的解是a-2<x<1,
g(x)<0的解是0<x<a-2或x>1,
∴f(x)的單調增區間是(a-2,1),單調減區間是(0,a-2),(1,+∞);
②當a≤2時,x2≤0,g(x)>0的解是0<x<1,g(x)<0的解是x>1,
∴f(x)的單調增區間是(0,1),單調減區間是(1,+∞),
綜上所述,當2<a<3時,f(x)的單調增區間是(a-2,1),
單調減區間是(0,a-2),(1,+∞);
當a≤2時,f(x)的單調增區間是(0,1),單調減區間是(1,+∞).
點評 本題考查了切線方程問題,考查函數的單調性、最值問題,考查導數的應用以及分類討論思想,是一道中檔題.
科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | .$\frac{1}{3}$ | B. | $-\frac{1}{3}$ | C. | .$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$ | D. | .$-\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$ |
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
銷售時間x(月) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
銷售額y(萬元) | 0.4 | 0.5 | 0.6 | 0.6 | 0.4 |
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科目:高中數學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | 5 | B. | $\sqrt{5}$ | C. | $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$ | D. | $\frac{5}{4}$ |
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | 2x+y-4=0 | B. | x-2y+3=0 | C. | x+y-3=0 | D. | x-y+1=0 |
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