Question

8．設S_n是數列{a_n}的前n項和，a₁=1，S${\;}_{n}^{2}$=a_n（S_n-$\frac{1}{2}$）（n≥2）．
（1）求{a_n}的通項；
（2）設b_n=$\frac{{S}_{n}}{2n+1}$，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用a_n=S_n-S_n-1代入已知條件可知S_n-S_n-1=2S_nS_n-1，進而兩邊同時除以S_nS_n-1可知數列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是首項為1、公差為2的等差數列，計算可知S_n=$\frac{1}{2n-1}$，從而當n≥2時a_n=-$\frac{2}{（2n-1）（2n-3）}$，驗證a₁=1不滿足上式，進而可得通項公式；
（2）通過（1）裂項可知b_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），進而并項相加即得結論．

解答 解：（1）因為當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，
所以${{S}_{n}}^{2}$=（S_n-S_n-1）（a_n-$\frac{1}{2}$），
整理得：S_n-S_n-1=2S_nS_n-1，
兩邊同時除以S_nS_n-1，得：$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2（n≥2），
又因為$\frac{1}{{S}_{1}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
所以數列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是首項為1、公差為2的等差數列，
所以$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
所以S_n=$\frac{1}{2n-1}$，
所以當n≥2時a_n=$\frac{{{S}_{n}}^{2}}{{S}_{n}-\frac{1}{2}}$=-$\frac{2}{（2n-1）（2n-3）}$，
又因為a₁=1不滿足上式，
所以a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，}&{n=1}\\{-\frac{2}{（2n-1）（2n-3）}，}&{n≥2}\end{array}\right.$．
（2）由（1）知b_n=$\frac{{S}_{n}}{2n+1}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
所以T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．

點評 本題考查數列的通項及前n項和，考查分類討論的思想，考查裂項相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．