Question

13．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左，右焦點分別為F₁，F₂，點P在雙曲線的右支上且|PF₁|=4|PF₂|，則此雙曲線的離心率e的取值范圍是（1，$\frac{5}{3}$]．

Answer 1

分析 利用雙曲線定義|PF₁|+|PF₂|=2a，設|PF₂|=r，推出|PF₂|=$\frac{2a}{3}$．通過|PF₂|≥c-a，求出雙曲線的離心率e的取值范圍．

解答 解：根據雙曲線定義|PF₁|+|PF₂|=2a，設|PF₂|=r，
則|PF₂|=4r，故3r=2a，即r=$\frac{2a}{3}$，即|PF₂|=$\frac{2a}{3}$．
根據雙曲線的幾何性質，|PF₂|≥c-a，即$\frac{2a}{3}≥c-a$，
即$\frac{c}{a}≤\frac{5}{3}$，即e≤$\frac{5}{3}$．又e＞1，
故雙曲線的離心率e的取值范圍是（1，$\frac{5}{3}$]．
故答案為：（1，$\frac{5}{3}$]．

點評 本題考查雙曲線定義以及雙曲線的簡單性質的應用，考查計算能力．