Question

5．已知x、y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥1}\\{2x-y+1≤0}\end{array}\right.$，且目標函數z=mx-ny（m＞0，n＜0）的最大值為-6，則$\frac{n}{m-1}$的取值范圍是（　　）

• A． [-2，0]∪[$\frac{1}{2}$，+∞）
• B． [2，+∞）
• C． （-∞，0）∪（2，+∞）
• D． （-∞，0）∪[$\frac{1}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，再由目標函數z=mx-ny（m＞0，n＜0）的最大值為-6，求得m-n=6，得到n=m-6，代入$\frac{n}{m-1}$，結合m的范圍得答案．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥1}\\{2x-y+1≤0}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

聯立$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+1=0}\\{x-y=0}\end{array}\right.$，解得A（-1，-1），
化目標函數z=mx-ny（m＞0，n＜0為$y=\frac{m}{n}x-\frac{z}{n}$，
由圖可知，當直線$y=\frac{m}{n}x-\frac{z}{n}$過A時，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為-m+n=-6，
則m-n=6．
∴$\frac{n}{m-1}$=$\frac{m-6}{m-1}=\frac{m-1-5}{m-1}=1-\frac{5}{m-1}$．
∵$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{m-6＜0}\end{array}\right.$，∴0＜m＜6．
則$-\frac{5}{m-1}＜-1$或$-\frac{5}{m-1}＞5$．
得$1-\frac{5}{m-1}＜0$或1-$\frac{5}{m-1}＞6$．
∴$\frac{n}{m-1}$的取值范圍是（-∞，0）∪（2，+∞）．
故選：C．

點評 本題考查簡單的線性規劃，考查了數形結合的解題思想方法，考查數學轉化思想方法，是中檔題．