Question

17．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1+sin2x，sinx-cosx），$\overrightarrow{b}$=（1，sinx+cosx），函數f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（1）求f（x）的最大值及相應的x的值；
（2）若f（θ）=$\frac{8}{5}$，求sin4θ的值．

Answer 1

分析 （1）運用向量數量積的坐標表示，以及二倍角公式、兩角差的正弦公式，化簡f（x），再由正弦函數的最值，即可得到所求；
（2）由（1）可得sin2θ-cos2θ=$\frac{3}{5}$，兩邊平方，結合二倍角的正弦公式，化簡即可得到所求值．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（1+sin2x，sinx-cosx），$\overrightarrow{b}$=（1，sinx+cosx），
函數f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1+sin2x+（sinx-cosx）（sinx+cosx）
=1+sin2x-（cos²x-sin²x）=1+sin2x-cos2x
=1+$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
則當2x-$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，即x=kπ+$\frac{3}{8}$π，k∈Z時，f（x）取得最大值為1+$\sqrt{2}$；
（2）f（θ）=1+sin2θ-cos2θ=$\frac{8}{5}$，
即有sin2θ-cos2θ=$\frac{3}{5}$，
兩邊平方可得（sin2θ-cos2θ）²=$\frac{9}{25}$，
即sin²2θ+cos²2θ-2sin2θcos2θ=$\frac{9}{25}$，
1-sin4θ=$\frac{9}{25}$，
則sin4θ=$\frac{16}{25}$．

點評 本題考查三角函數的求值，考查恒等變換公式的運用，同時考查向量數量積的坐標表示，考查運算能力，屬于中檔題．