Question

4．如圖，四棱錐S-ABCD的底面是邊長為1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SD=1，SB=$\sqrt{3}$．
（I）求證BC⊥SC；　
（Ⅱ）求平面SBC與平面ABCD所成二面角的大小；
（Ⅲ）設棱SA的中點為M，求異面直線DM與SB所成角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明BC⊥SC，只需證明BC⊥面SDC，根據SD⊥底面ABCD證明SD⊥BC即可；
（Ⅱ）連接BD，∠ADB為二面角A-SD-B的平面角，根據ABCD是正方形，即可得到結論．
（Ⅲ）取AB中點N，連接MN，DN，∠NMD（或其補角）為異面直線DM與SB所成角，計算DM，DN，MN，即可得到結論；

解答 （Ⅰ）證明：∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD
∵SD⊥底面ABCD，BC?底面ABCD
∴SD⊥BC
∵SD∩CD=D
∴BC⊥面SDC
∵SC?面SDC
∴BC⊥SC；
（Ⅱ）解：連接BD，∵SD⊥底面ABCD，AD，BD?底面ABCD
∴SD⊥AD，SD⊥BD
∴∠ADB為二面角A-SD-B的平面角，
∵ABCD是正方形，
∴∠ADB=45°
∴二面角A-SD-B的平面角為45°，
（Ⅲ）取AB中點N，連接MN，DN，則SB=$\sqrt{3}$
∵正方形ABCD的邊長為1，SD⊥底面ABCD，．
∴SD=1
∴DM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，DN=$\frac{\sqrt{5}}{2}$
∵棱SA的中點為M，AB中點N，
∴MN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，MN∥SB
∴∠NMD（或其補角）為異面直線DM與SB所成角
∵DM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，DN=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，MN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴∠NMD=90°
∴異面直線DM與SB所成角為90°

點評 本題考查線面垂直，線線垂直，考查線線角，面面角，解題的關鍵是掌握線面垂直的判斷，正確找出線線角，面面角，屬于中檔題．