Question

8．已知各項均為正數的數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足2S_n=a_n²+n-16．
（1）求a₁，a₂，a₃的值，猜想數列{a_n}的通項公式并用數學歸納方法證明．
（2）令b_n=$\frac{{a}_{n}-4}{{2}^{{a}_{n}-4}}$，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）分別令n=1，2，3，計算可得數列的前3項，猜想數列{a_n}的通項公式為a_n=n+4，n∈N*，用數學歸納方法證明，注意檢驗n=1，假設n=k，推得n=k+1也成立，注意運用數列的遞推式；
（2）求得b_n=$\frac{{a}_{n}-4}{{2}^{{a}_{n}-4}}$=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，運用數列的求和方法：錯位相減法，結合等比數列的求和公式，化簡整理即可得到所求和．

解答 解：（1）各項均為正數的數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足2S_n=a_n²+n-16，
可得2a₁=2S₁=a₁²+1-16，解得a₁=5；
2（a₁+a₂）=a₂²+2-16，解得a₂=6；
2（a₁+a₂+a₃）=a₃²+3-16，解得a₃=7，
猜想數列{a_n}的通項公式為a_n=n+4，n∈N*，
用數學歸納方法證明如下：
當n=1時，a₁=5顯然成立；
假設n=k，有a_k=k+4，
當n=k+1時，可得
a_k+1=S_k+1-S_k=$\frac{1}{2}$（a_k+1²+k-15）-$\frac{1}{2}$[（k+4）²+k-16]，
化簡可得a_k+1²-2a_k+1+1-（k+4）²=0，
解得a_k+1=k+5，
故n=k+1，等式也成立，
綜上可得a_n=n+4，n∈N*，
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}-4}{{2}^{{a}_{n}-4}}$=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
前n項和T_n=1•（$\frac{1}{2}$）¹+2•（$\frac{1}{2}$）²+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
$\frac{1}{2}$T_n=1•（$\frac{1}{2}$）²+2•（$\frac{1}{2}$）³+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
兩式相減可得$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
化簡可得T_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．

點評 本題考查數列的通項公式的求法，注意運用猜想和數學歸納法之美，考查數列的求和方法：錯位相減法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．