Question

3．已知函數f（x）=xlnx．
（1）過點A（-e^-2，0）作函數y=f（x）圖象的切線，求切線方程．
（2）若f（x）≥-x²+ax-6在（0，+∞）上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設切點T（x₀，y₀）則k_AT=f′（x₀），由此能求出切線方程
（2）由f（x）≥-x²+ax-6在（0，+∞）上恒成立，知a≤lnx+x+$\frac{6}{x}$，設g（x）=lnx+x+$\frac{6}{x}$，由此能夠求出實數a的取值范圍．

解答 解：設切點T（x₀，y₀）則k_AT=f′（x₀），
∴$\frac{{x}_{0}ln{x}_{0}}{{x}_{0}+\frac{1}{{e}^{2}}}$=lnx₀+1即e²x₀+lnx₀+1=0
設h（x）=e²x+lnx+1，當x＞0時h′（x）＞0，
∴h（x）是單調遞增函數，
∴h（x）=0最多只有一個根，
又h（$\frac{1}{{e}^{2}}$）=e²×$\frac{1}{{e}^{2}}$+ln$\frac{1}{{e}^{2}}$+1=0，
∴x₀=$\frac{1}{{e}^{2}}$
由f'（x₀）=-1得切線方程是x+y+$\frac{1}{{e}^{2}}$=0．
（2）∵f（x）≥-x²+ax-6在（0，+∞）上恒成立，
∴a≤lnx+x+$\frac{6}{x}$，
設g（x）=lnx+x+$\frac{6}{x}$，
則g′（x）=$\frac{{x}^{2}+x-6}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+3）（x-2）}{{x}^{2}}$，
當x＞2時，g′（x）＞0，函數g（x）是增函數，
當0＜x＜2時，g′（x）＜0，函數g（x）是減函數，
∴a≤g（2）=5+ln2．
即實數a的取值范圍是（-∞，5+ln2]．

點評 本題考查利用導數求函數的單調區間和實數的取值范圍的方法，解題時要認真審題，仔細解答，注意分類討論思想和等價轉化思想的合理運用．