Question

12．已知F為雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左焦點，點A為雙曲線虛軸的一個頂點，過點F，A的直線與雙曲線的一條漸近線在y軸右側的交點為B，若$\overrightarrow{FA}=（\sqrt{2}-1）\overrightarrow{AB}$，則此雙曲線的離心率是$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據雙曲線的性質可知：設直線F₁A的方程為：$y=\frac{b}{c}（x+c）$，漸近線方程為$y=\frac{b}{a}x$，聯立求得B坐標，$\overrightarrow{FA}=（\sqrt{2}-1）\overrightarrow{AB}$，整理得：$c=（\sqrt{2}-1）\frac{ac}{c-a}$，求得$c=\sqrt{2}a$，由離心率公式可知：e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．

解答 解：由雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$，A（0，b），F₁（-c，0），
過點F、A的直線方程的斜率為k=$\frac{b}{a}$，
∴直線F₁A的方程為：$y=\frac{b}{c}（x+c）$①，
雙曲線的一條漸近線方程為$y=\frac{b}{a}x$②，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{b}{c}（x+c）}\\{y=\frac{b}{a}x}\end{array}\right.$，解得交點$B（\frac{ac}{c-a}，\frac{bc}{c-a}）$，
由$\overrightarrow{FA}=（\sqrt{2}-1）\overrightarrow{AB}$，解得$c=（\sqrt{2}-1）\frac{ac}{c-a}$，
整理得：$c=\sqrt{2}a$，
e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查雙曲線的方程及簡單幾何性質，考查向量的共線定理，考查計算能力，屬于中檔題．