Question

15．設函數f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，其中向量$\overrightarrow{m}$=（2cosx，1），$\overrightarrow{n}$=（cosx，$\sqrt{3}$sin2x）．
（1）求函數f（x）的最小正周期與單調遞增區間；
（2）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，已知f（A）=2，b=1，若△ABC外接圓半徑R=1，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）求出函數的解析式，并利用輔助角（和差角）公式化為正弦型函數，結合正弦函數的單調性，可得f（x）的單調遞增區間．
（2）由已知中f（A）=2，b=1，△ABC外接圓半徑R=1，判斷出△ABC為直角三角形，進而可得△ABC的面積．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{m}$=（2cosx，1），$\overrightarrow{n}$=（cosx，$\sqrt{3}$sin2x）．
∴f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，．
---------（2分）
所以，函數f（x）的最小正周期為T=π，-------（3分）
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）時，函數f（x）單調遞增，
解得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$（k∈Z），
所以函數f（x）的單調遞增區間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z）．----------（6分）
（2）∵f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）+1=2，解得A=$\frac{π}{3}$，------（8分）
又∵△ABC外接圓半徑R=1，
∴a=2RsinA=$\sqrt{3}$．
再由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，解得sinB=$\frac{1}{2}$，
∴B=$\frac{π}{6}$
∴C=$\frac{π}{2}$，
即△ABC為直角三角形．--------（11分）
∴S=$\frac{1}{2}ab$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．------------（12分）

點評 本題考查的知識點是三角函數的恒等變量，三角函數的圖象和性質，平面向量的數量積運算，難度中檔．