Question

5．已知圓C：x²+y²-2x-6y-3=0．
（1）求圓心C的坐標；
（2）若直線l：x-y+a=0與圓C相交于兩點A，B，且弦長|AB|=5$\sqrt{2}$，求實數a的值；
（3）問是否存在實數k，使得直線y=kx+3與圓C交于M，N兩點，且以MN為直徑的圓經過坐標原點O．若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由．
【提示：（3）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），以MN為直徑的圓經過坐標原點O?OM⊥ON?x₁x₂+y₁y₂=0】

Answer 1

分析 （1）圓的方程化為標準方程，求出圓心與半徑；
（2）由弦長|AB|=5$\sqrt{2}$，利用勾股定理，即可求出實數a的值；
（2）假設存在實數k，使得直線y=kx+3與圓C交于M，N兩點，且以MN為直徑的圓經過坐標原點O，則x₁x₂+y₁y₂=0，整理后代入根與系數關系求解實數k的值．

解答 解：（1）圓C：x²+y²-2x-6y-3=0，可化為（x-1）²+（y-3）²=13，∴圓心C的坐標（1，3）；
（2）圓心到直線的距離d=$\frac{|1-3+a|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{13-（\frac{5\sqrt{2}}{2}）^{2}}$，∴a=1或3；
（3）記M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
假設存在實數k，使得直線y=kx+3與圓C交于M，N兩點，且以MN為直徑的圓經過坐標原點O，
則x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（kx₁+3）（kx₂+3）=0，
即（1+k²）x₁x₂+3k（x₁+x₂）+9=0，
直線y=kx+3與圓C：x²+y²-2x-6y-3=0聯立，消去y，
可得（1+k²）x²-2x-12=0，
∴x₁+x₂=$\frac{2}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{-12}{1+{k}^{2}}$，
∴-12+$\frac{6k}{1+{k}^{2}}$+9=0，
∴k=1，滿足題意．

點評 本題主要考查了直線與圓的位置關系的應用，直線與曲線聯立，根據方程的根與系數的關系解題，是處理這類問題的最為常用的方法，是中檔題．