Question

10．已知函數f（x）=e^x+ax-a（a∈R且a≠0）．
（1）若f（0）=2，求實數a的值；并求此時f（x）的單調區間及最小值．
（2）若函數f（x）不存在零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的大師，得到函數的單調性，從而求出函數 的最小值即可；
（2）求出函數的大師，通過討論a的范圍，得到函數的單調性，從而確定a的范圍即可．

解答 解：（1）由f（0）=1-a=2得．∴a=-1．
f（x）=e^x-x+1，求導得f′（x）=e^x-1
易知f（x）在（-∞，0）上單調遞減，
在（0，1]上f（x）單調遞增；
當x=0時，f（x）的最小值為2     …（4分）
（2）f′（x）=e^x+a，由于e^x＞0，
①當a＞0時，f′（x）＞0，f（x）是增函數，且當x＞1時，f（x）=e^x+a（x-1）＞0，
當x＜0時，取x=-$\frac{1}{a}$，則f（-$\frac{1}{a}$）＜1+a（-$\frac{1}{a}$-1）=-a＜0，
所以函數f（x）存在零點，不滿足題意．…（8分）
②當a＜0時，f′（x）=e^x+a=0，x=ln（-a），
在（-∞，ln（-a））上，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，
在（ln（-a），+∞）上，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，
所以x=ln（-a）時，f（x）取最小值，
函數f（x）不存在零點，
等價于f（ln（-a））=e^ln（-a）+aln（-a）-a=-2a+aln（-a）＞0，
解得：-e²＜a＜0，
綜上所述：所求的實數a的取值范圍是-e²＜a＜0．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．