Question

19．已知正數a，b，c滿足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，求$\frac{b}{a}$的取值范圍．

Answer 1

分析 利用換元法將不等式組進行轉化，然后利用線性規劃的知識結合導數的幾何意義求出切線斜率，進行求解即可．

解答 解：∵5c-3a≤b≤4c-a，
∴5-3•$\frac{a}{c}$≤$\frac{b}{c}$≤4-$\frac{a}{c}$，即3•$\frac{a}{c}$+$\frac{b}{c}$≥5，$\frac{a}{c}$+$\frac{b}{c}$≤4，
∵clnb≥a+clnc，
∴cln$\frac{b}{c}$≥a，即$\frac{b}{c}$≥e${\;}^{\frac{a}{c}}$，
設$\frac{a}{c}$=x，$\frac{b}{c}$=y，
則不等式等價為$\left\{\begin{array}{l}{3x+y≥5}\\{x+y≤4}\\{y≥{e}^{x}}\end{array}\right.$，$\frac{b}{a}$=$\frac{y}{x}$，則$\frac{y}{x}$的幾何意義是區域內的點到原點的斜率，
作出不等式組對應的平面區域如圖：
由圖象知當直線y=kx與y=e^x相切時，k最小，
函數的導數f′（x）=e^x，設切點為（a，b），則過原點的切線方程為y-b=e^a（x-a），
即y=e^ax-ae^a+e^a，
∵切線過原點，
∴0=e^a（1-a），則1-a=0，a=1，此時k=e，
OA的斜率最大，由$\left\{\begin{array}{l}{3x+y=5}\\{x+y=4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，即A（$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}$），
則OA的斜率k=$\frac{\frac{7}{2}}{\frac{1}{2}}$=7，
即e≤k≤7，
即$\frac{b}{a}$的取值范圍是[e，7]．

點評 本題主要考查線性規劃的應用，利用換元法將不等式組轉化為線性規劃問題是解決本題的關鍵．綜合性較強，有一定的難度．