Question

9．已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，當x≤0時，f（x）=$\frac{2x}{x-1}$．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數f（x）在[2，6]的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當x＞0時，-x＜0，運用已知解析式，結合奇函數的定義，可得x＞0的解析式，進而得到所求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）首先運用定義判斷f（x）在[2，6]的單調遞減，可得f（x）在[2，6]的最值．

解答 解：（Ⅰ）當x＞0時，-x＜0，f（-x）=$\frac{-2x}{-x-1}$=$\frac{2x}{x+1}$，
由函數f（x）是定義在R上的奇函數，
可得f（x）=-f（-x）=-$\frac{2x}{x+1}$，x＞0．
則f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2x}{x+1}，x＞0}\\{\frac{2x}{x-1}，x≤0}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）設x∈[2，6]，f（x）=-$\frac{2x}{x+1}$=-2+$\frac{2}{x+1}$，
設2≤x₁＜x₂≤6，則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{1+{x}_{1}}$-$\frac{2}{1+{x}_{2}}$
=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（1+{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}$＞0，
則f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）在[2，6]遞減，
則f（x）在[2，6]的最大值為f（2）=-$\frac{4}{3}$，最小值為f（6）=-$\frac{12}{7}$．

點評 本題考查函數的奇偶性和單調性的判斷和運用，考查化簡整理的運算能力，注意定義法的運用，屬于中檔題．