Question

6．已知命題p：指數函數f（x）=（2a-6）^x在R上單調遞減，命題q：關于x的方程x²-3ax+2a²+1=0的兩個相異實根均大于3．若p、q中有且僅有一個為真命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 先求出命題p，q為真命題時，實數a的取值范圍．進而根據p、q中有且僅有一個為真命題，得到答案．

解答 解：若命題p：指數函數f（x）=（2a-6）^x在R上單調遞減為真命題，
則2a-6∈（0，1），解得：a∈（3，$\frac{7}{2}$），
若命題q：關于x的方程x²-3ax+2a²+1=0的兩個相異實根均大于3，
則$\left\{\begin{array}{l}9{a}^{2}-4（2{a}^{2}+1）＞0\\ \frac{3a}{2}＞3\\ 9-9a+2{a}^{2}+1＞0\end{array}\right.$，
解得：a∈（$\frac{5}{2}$，+∞），
若p、q中有且僅有一個為真命題，
故p假q真，
故a∈（$\frac{5}{2}$，3]∪[$\frac{7}{2}$+∞）

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了復合命題，指數函數的圖象和性質，二次方程的根等知識點，難度中檔．