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14.設向量$\overrightarrow{a}$=(cosωx-sinωx,-1),$\overrightarrow{b}$=(2sinωx,-1),其中ω>0,x∈R,已知函數f(x)=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的最小正周期為4π.
(1)求f(x)的對稱中心;
(2)若sinx0是關于t的方程2t2-t-1=0的根,且x0∈(-$\frac{π}{2}$,$\frac{π}{2}$),求f(x0)的值.

分析 (1)利用三角函數的恒等變換以及兩個向量的數量積公式化簡函數f(x)的解析式,再根據周期求得ω的值,從而求出函數的對稱中心;
(2)求得 方程2t2-t-1=0的兩根,可得sinx0=-$\frac{1}{2}$,可得x0的值,從而求得f(x0)的值.

解答 解:(1)f(x)=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=(cosωx-sinωx,-1)•(2sinωx,-1)=2sinωxcosωx-2sin2ωx+1
=sin2ωx+cos2ωx=$\sqrt{2}$sin(2ωx+$\frac{π}{4}$),
因為 T=4π,所以ω=$\frac{1}{4}$,
由$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$=2kπ,解得:x=4kπ-$\frac{π}{2}$,
故f(x)的對稱中心是(4kπ-$\frac{π}{2}$,0);
(2)方程2t2-t-1=0的兩根為 t1=-$\frac{1}{2}$,t2=1,
因為 x0∈(-$\frac{π}{2}$,$\frac{π}{2}$),所以 sinx0∈(-1,1),
所以sinx0=-$\frac{1}{2}$,即x0=-$\frac{π}{6}$.
又由已知 f(x0)=$\sqrt{2}$sin($\frac{1}{2}$x0+$\frac{π}{4}$),
所以 f(-$\frac{π}{6}$)=$\sqrt{2}$sin(-$\frac{π}{12}$+$\frac{π}{4}$)=$\sqrt{2}$sin$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

點評 本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值,三角函數的周期性和求法,兩個向量的數量積公式的應用,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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