Question

18．已知函數f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$+x-2lnx（x＞0）．
（1）求f（x）的單調區間；
（2）求函數f（x）的極值．

Answer 1

分析 （1）確定函數的導函數，利用導數的正負，求解函數的單調區間．
（2）通過函數的單調性，從而可得函數的極值．

解答 解：（1）函數f（x）的定義域為（0，+∞），函數f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$+x-2lnx，
f′（x）=x+1-$\frac{2}{x}$=$\frac{（x+2）（x-1）}{x}$，
令f′（x）＞0得x＜-2或x＞1；令f′（x）＜0得-2＜x＜1，
∵x∈（0，+∞），
∴函數的單調遞增區間為（1，+∞），單調遞減區間為（0，1）．
（2）由（1）可知函數f（x）在x=1處取得極小值$\frac{3}{2}$，無極大值．

點評 本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與極值，正確求導是關鍵．