Question

6．在數列{a_n}中，a₁=1，當n≥2時，${a_n}=\frac{{3{a_{n-1}}}}{{{a_{n-1}}+3}}$
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想數列{a_n}的通項a_n，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）利用條件，代入計算，可求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想數列{a_n}的通項a_n，證明數列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首項為1，公差為$\frac{1}{3}$的等差數列，即可證明結論．

解答 解：（1）∵數列{a_n}中，a₁=1，當n≥2時，${a_n}=\frac{{3{a_{n-1}}}}{{{a_{n-1}}+3}}$，
∴a₂=$\frac{3}{4}$，a₃=$\frac{3}{5}$，a₄=$\frac{1}{2}$；
（2）猜想a_n=$\frac{3}{n+2}$．
∵當n≥2時，${a_n}=\frac{{3{a_{n-1}}}}{{{a_{n-1}}+3}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{3}$，
∴數列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首項為1，公差為$\frac{1}{3}$的等差數列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{n+2}{3}$，
∴a_n=$\frac{3}{n+2}$．

點評 本題考查等差數列的判定，考查數列的通項，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．