Question

15．已知$\overrightarrow a，\overrightarrow b$為單位向量，且$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，向量$\overrightarrow c$滿足$|{\overrightarrow c+\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=3$，則$|{\overrightarrow c}|$的取值范圍為（　�。�

• A． $[1，1+\sqrt{2}]$
• B． $[2-\sqrt{2}，2+\sqrt{2}]$
• C． $[\sqrt{2}，2\sqrt{2}]$
• D． $[3-\sqrt{2}，3+\sqrt{2}]$

Answer 1

分析 根據題意，設（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$）與（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）的夾角為θ，由向量模的計算公式可得|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{2}$，又由$\overrightarrow{c}$=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$）-（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），分析可得|$\overrightarrow{c}$|²=[（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$）-（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）]²=11-6$\sqrt{2}$cosθ，由cosθ的范圍可得11-6$\sqrt{2}$≤|$\overrightarrow{c}$|²≤11+6$\sqrt{2}$，化簡計算可得答案．

解答 解：根據題意，設（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$）與（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）的夾角為θ，
又由$\overrightarrow a，\overrightarrow b$為單位向量，且$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，即$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，
則|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|²=$\overrightarrow{a}$²+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+$\overrightarrow$²=2，即|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{2}$，
則$\overrightarrow{c}$=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$）-（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），
則有|$\overrightarrow{c}$|²=[（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$）-（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）]²=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$）²-2（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）+（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）²=11-6$\sqrt{2}$cosθ，
則有11-6$\sqrt{2}$≤|$\overrightarrow{c}$|²≤11+6$\sqrt{2}$，
即3-$\sqrt{2}$≤|$\overrightarrow{c}$|≤3+$\sqrt{2}$，
即$|{\overrightarrow c}|$的取值范圍為[3-$\sqrt{2}$，3+$\sqrt{2}$]；
故選：D．

點評 本題考查向量的數量積運算，關鍵是利用向量的加減運算進行化簡變形．