Question

3．已知等邊三角形的一個頂點位于拋物線y²=2px的焦點，另外兩個頂點在拋物線上，則這個等邊三角形的邊長（4±2$\sqrt{3}$）|p|．

Answer 1

分析 由等邊三角形性質得出一邊斜率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，聯立方程組解出另兩點坐標即可得出三角形的邊長．

解答 解：拋物線的焦點為（$\frac{p}{2}$，0），
由對稱性可知三角形的另兩點關于x軸對稱，
∴三角形過點（$\frac{p}{2}$，0）的一邊方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-$\frac{p}{2}$），
聯立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}（x-\frac{p}{2}）}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7+4\sqrt{3}}{2}p}\\{y=（2+\sqrt{3}）p}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7-4\sqrt{3}}{2}p}\\{y=（2-\sqrt{3}）p}\end{array}\right.$．
∴等邊三角形的邊長為（4+2$\sqrt{3}$）|p|或（4-2$\sqrt{3}$）|p|．
故答案為：（4±2$\sqrt{3}$）|p|．

點評 本題考查了拋物線的性質，直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題．