Question

10．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C的左，右焦點(diǎn)，以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸為半徑的圓與直線 x-y+$\sqrt{6}$=0相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過點(diǎn)F₂的直線l與橢圓C相交于點(diǎn)M，N兩點(diǎn)，求使△F₁MN面積最大時(shí)直線l的方程及△F₁MN面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知條件列出方程組，求解橢圓的幾何量，然后求解橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為x=my+1，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則點(diǎn)M，N的坐標(biāo)是方程組$\left\{{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.$，的兩組解，利用韋達(dá)定理表示三角形的面積，通過求解三角形的最值求解直線方程．

解答 解：（Ⅰ）由題意得$\left\{{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{{\sqrt{6}}}{{\sqrt{1+1}}}}\\{{a^2}={b^2}+{c^2}}\end{array}}\right.∴\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=\sqrt{3}}\\{c=1}\end{array}}\right.$，所以橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；…（5分）
（Ⅱ）由題意可設(shè)直線l的方程為x=my+1，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則點(diǎn)M，N的坐標(biāo)是方程組$\left\{{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.$，的兩組解，
∴（3m²+4）y²+6my-9=0，∴$\left\{{\begin{array}{l}{△＞0}\\{{y_1}+{y_2}=\frac{-6m}{{3{m^2}+4，}}}\\{{y_1}{y_2}=\frac{-9}{{3{m^2}+4}}}\end{array}}\right.$…（7分）
∴${S_{△{F_1}MN}}=\frac{1}{2}|{{F_1}{F_2}}||{{y_1}-{y_2}}|=\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}=\frac{{12\sqrt{{m^2}+1}}}{{3{m^2}+4}}$
=$\frac{12}{{3\sqrt{{m^2}+1}+\frac{1}{{\sqrt{{m^2}+1}}}}}≤\frac{12}{4}=3$（由對號(hào)函數(shù)單調(diào)性知道當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)取等號(hào)），…（10分）
所以當(dāng)m=0時(shí)，${S_{△{F_1}MN}}$取得最大值3，此時(shí)直線l的方程為x=1．…（12分）．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力．