Question

5．已知函數f（x）=e^x-asinx-1（a∈R）．
（Ⅰ）若a=1，求f（x）在x=0處的切線方程；
（Ⅱ）若f（x）≥0對一切x∈[0，1]恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把a=1代入函數解析式，求出導函數，得到f′（0），再求出f（0），利用直線方程的點斜式得答案；
（Ⅱ）求出原函數的導函數，可得f′（x）≥0對一切x∈[0，1]恒成立，然后對a分類討論可得a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=e^x-sinx-1，f′（x）=e^x-cosx，
∴f′（0）=0，又f（0）=0，
∴y-0=0（x-0），即y=0．
∴a=1時，f（x）在x=0處的切線方程為y=0；
（Ⅱ）f′（x）=e^x-acosx，若a≤0，則f′（x）≥0對一切x∈[0，1]恒成立，
∴f（x）在[0，1]上單調遞增，∴f（x）≥f（0）=0，符合題意；
若0＜a≤1，f′（x）=e^x-acosx，由0≤x≤1知，0＜acosx≤a，e^x≥1．
∴f′（x）＞0，f（x）在[0，1]上單調遞增，∴f（x）≥f（0）=0，符合題意；
若a＞1，由y=e^x與y=acosx的圖象的位置關系知，
存在x₀∈（0，1），當0＜x＜x₀ 時，e^x＜acosx，
此時f′（x）＜0，f（x）在[0，x₀]上單調遞減；
當0＜x＜x₀ 時，f（x）＜f（0）=0．與題意矛盾．
綜上，a的取值范圍為（-∞，1]．

點評 本題考查利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，考查恒成立問題的求解方法，體現了分類討論的數學思想方法，是中檔題．