Question

14．已知關于x的方程t（2-cosx）=1-sinx在（0，π）上有實根，則實數t的取值范圍是[0，1）．

Answer 1

分析 把已知方程變形，可得t=$\frac{sinx-1}{cosx-2}$，再由$\frac{sinx-1}{cosx-2}$的幾何意義，即半圓x²+y²=1（-1＜x＜1，y＞0）上的動點與定點P（2，1）連線的斜率求解．

解答 解：由t（2-cosx）=1-sinx，得t=$\frac{1-sinx}{2-cosx}=\frac{sinx-1}{cosx-2}$．
∵x∈（0，π），
∴$\frac{sinx-1}{cosx-2}$的幾何意義為半圓x²+y²=1（-1＜x＜1，y＞0）上的動點與定點P（2，1）連線的斜率．
如圖：
∵${k}_{PA}=\frac{1-0}{2-1}=1$，k_PB=0．
∴$\frac{sinx-1}{cosx-2}$的取值范圍為[0，1）．
∴t的取值范圍為[0，1）．
故答案為：[0，1）．

點評 本題考查根的存在性與根的個數判斷，考查數學轉化思想方法與數形結合的解題思想方法，是中檔題．