Question

9．在“一帶一路”的建設中，中石化集團獲得了某地深海油田區塊的開采權，集團在該地區隨機初步勘探了幾口井，取得了地質資料．進入全面勘探時期后，集團按網絡點來布置井位進行全面勘探．由于勘探一口井的費用很高，如果新設計的井位與原有井位重合或接近，便利用舊井的地質資料，不必打這口新井，以節約勘探費用．勘探初期數據資料下表：

井號 I	1	2	3	4	5	6
坐標（x，y）（km）	（2，30）	（4，40）	（5，60）	（6，50）	（8，70）	（1，y）
鉆探深度（km）	2	4	5	6	8	10
出油量（L）	40	70	110	90	160	205

（1）在散點圖中1～6號舊井位置大致分布在一條直線附近，借助前5組數據求得回歸線方程為y=6.5x+a，求a，并估計y的預報值；
（2）現準備勘探新井7（1，25），若通過1、3、5、7號井計算出的$\hat b，\hat a$的值（$\hat b，\hat a$精確到0.01）相比于（1）中b，a的值之差（即：$\frac{\hat b-b}{b}，\frac{\hat a-a}{a}$）不超過10%，則使用位置最接近的已有舊井6（1，y），否則在新位置打井，請判斷可否使用舊井？（參考公式和計算結果：$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x•\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}，\hat a=\overline y-\hat b\overline x，\sum_{i=1}^4{x_{2i-1}^2}=94，\sum_{i=1}^4{{x_{2i-1}}{y_{2i-1}}=945}$）
（3）設出油量與鉆探深度的比值k不低于20的勘探井稱為優質井，在原有井號2～6的井中任意勘探3口井，求恰好2口是優質井的概率．

Answer 1

分析 （1）計算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回歸系數，寫出回歸直線方程，
計算x=1時y的值即可；
（2）計算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回歸系數，計算$\frac{\hat b-b}{b}，\frac{\hat a-a}{a}$，即可得出結論；
（3）用列舉法求基本事件數，計算對應的概率值．

解答 解：（1）因為$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（2+4+5+6+8）=5
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（30+40+60+50+70）=50，
回歸直線必過樣本中心點$（{\overline x，\overline y}）$，
則$a=\overline y-b\overline x=50-6.5×5=17.5$，
故回歸直線方程為y=6.5x+17.5，
當x=1時，y=6.5+17.5=24，即y的預報值為24；
（2）因為$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$×（2+5+8+1）=4
$\overline{y}$=$\frac{1}{4}$×（30+60+70+25）=46.25
$\sum_{i=1}^{4}$${{x}_{2i-1}}^{2}$=94$\sum_{i=1}^{4}$x_2i-1•y_2i-1=945，
所以$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^4{{x_{2i-1}}{y_{2i-1}}-4\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^4{x_{2i-1}^2-4{{\overline x}^2}}}}=\frac{945-4×4×46.25}{{94-4×{4^2}}}≈6.83$，
$\hat a=\overline y-\hat b\overline x=46.25-6.83×4=18.93$，
即$\hat b=6.83，\hat a=18.93，b=6.5，a=17.5$，
∴$\frac{\hat b-b}{b}≈5%，\frac{\hat a-a}{a}≈8%$，均不超過10%，
因此可以使用位置最接近的已有舊井6（1，24）；
（3）由題可知：3，5，6這3口井是優質井，2，4這2口井為非優質井，
由題意從這5口井中隨機選取3口井的可能情況有：
（2，3，4），（2，3，5），（2，3，6），（2，4，5），（2，4，6），
（2，5，6），（3，4，5），（3，4，6），（3，5，6），（4，5，6），共有10種，
其中恰有2口是優質井的有
（2，3，5），（2，3，6），（2，5，6），（3，4，5），（3，4，6），（4，5，6），6種，
所以所求恰有2口是優質井的概率是$P=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$．

點評 本題考查了線性回歸方程與列舉法求古典概型的概率問題，是綜合題．