Question

3．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a，2b，c成等差數列，則cosB的最小值為（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{7}{8}$

Answer 1

分析 a，2b，c成等差數列，可得4b=a+c，于是cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{16{b}^{2}-2ac-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{15{b}^{2}}{2ac}$-1，再利用基本不等式的性質即可得出．

解答 解：∵a，2b，c成等差數列，∴4b=a+c，
則cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{（a+c）^{2}-2ac-{b}^{2}}{2ac}$
=$\frac{16{b}^{2}-2ac-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{15{b}^{2}}{2ac}$-1≥$\frac{15{b}^{2}}{2×（\frac{a+c}{2}）^{2}}$-1=$\frac{7}{8}$，當且僅當a=c=2b時取等號．
故選：D．

點評 本題考查了余弦定理、基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．