Question

18．已知x，y滿足條件$\left\{\begin{array}{l}1≤x+y≤3\\-1≤x-y≤1\end{array}\right.$
（1）求2x-y的最小值；
（2）求x²+y²的最小值；
（3）求$\frac{y+1}{x+1}$的取值范圍．

Answer 1

分析 畫出約束條件的可行域，（1）判斷目標函數的最優解求解即可．（2）利用目標函數的幾何意義求解即可．（3）利用目標函數幾何意義斜率故選求解即可．

解答 解：x，y滿足條件$\left\{\begin{array}{l}1≤x+y≤3\\-1≤x-y≤1\end{array}\right.$的可行域如圖：
（1）平行直線z=2x-y，當直線經過可行域的A時，
z取得的最小值；-1．
（2）x²+y²的最小值，就是可行域的P與坐標原點的連線的距離的平方，轉化為原點與x+y=1的距離的平方，$（{\frac{1}{\sqrt{2}}）}^{2}$=$\frac{1}{2}$；
（3）$\frac{y+1}{x+1}$的幾何意義是可行域內的點與（-1，-1）連線的斜率，顯然DB的斜率最小，DA的斜率最大，
k_DB=$\frac{0+1}{1+1}$=$\frac{1}{2}$，k_DA=$\frac{1+1}{0+1}$=2，
$\frac{y+1}{x+1}$的取值范圍：$[{\frac{1}{2}，2}]$．

點評 本題考查線性規劃的簡單應用，判斷最優解以及目標函數的幾何意義是解題的關鍵．考查數形結合思想的應用．