Question

4．如圖，△ABC在$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{b}$，M，N分是$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$上的點，且$\overrightarrow{CM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{CN}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$，設$\overrightarrow{AN}$與$\overrightarrow{BM}$ 交于P，用向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$ 表示向量$\overrightarrow{CP}$，并求出AP：PN，BP：PM．

Answer 1

分析 先用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$表示出$\overrightarrow{AN}，\overrightarrow{BM}$，再設$\overrightarrow{AP}=λ$$\overrightarrow{AN}$，$\overrightarrow{BP}$=μ$\overrightarrow{BM}$，根據平面向量的基本定理列方程組解出λ，μ從而可得出結論．

解答 解：∵$\overrightarrow{CM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{CN}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$，∴$\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$=-$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$，
$\overrightarrow{BM}$=$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CM}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，
設$\overrightarrow{AP}=λ$$\overrightarrow{AN}$，$\overrightarrow{BP}$=μ$\overrightarrow{BM}$，
則$\overrightarrow{CP}$=$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{a}$+λ（-$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$）=（1-λ）$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}λ$$\overrightarrow{b}$，
$\overrightarrow{CP}$=$\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{b}$+μ（$\frac{1}{3}\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=$\frac{1}{3}μ$$\overrightarrow{a}$+（1-μ）$\overrightarrow{b}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-λ=\frac{1}{3}μ}\\{\frac{1}{2}λ=1-μ}\end{array}\right.$，解得λ=$\frac{4}{5}$，μ=$\frac{3}{5}$．
∴$\overrightarrow{CP}$=$\frac{1}{5}\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{b}$，
∴$\frac{AP}{PN}$=$\frac{λ}{1-λ}$=4，$\frac{BP}{PM}$=$\frac{μ}{1-μ}$=$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了平面向量的基本定理，屬于中檔題．