Question

14．已知定義域為R的奇函數y=f（x）的導函數為y=f'（x），當x≠0時，f'（x）+$\frac{f（x）}{x}$＞0，若a=$\frac{1}{2}f（{\frac{1}{2}}），b=-2f（{-2}），c=-ln2f（{ln\frac{1}{2}}）$，則a，b，c的大小關系正確的是（　�。�

• A． b＜c＜a
• B． a＜c＜b
• C． a＜b＜c
• D． c＜a＜b

Answer 1

分析 根據式子得出F（x）=xf（x）為R上的偶函數，利用f′（x）+$\frac{f（x）}{x}$＞0．當x＞0時，x•f′（x）+f（x）＞0，當x＜0時，x•f′（x）+f（x）＜0，判斷單調性即可證明a，b，c 的大小．

解答 解：∵定義域為R的奇函數y=f（x），
∴F（x）=xf（x）為R上的偶函數，
F′（x）=f（x）+xf′（x）
∵當x≠0時，f′（x）+$\frac{f（x）}{x}$＞0．
∴當x＞0時，x•f′（x）+f（x）＞0，
當x＜0時，x•f′（x）+f（x）＜0，
即F（x）在（0，+∞）單調遞增，在（-∞，0）單調遞減．
F（$\frac{1}{2}$）=a=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$）=F（ln$\sqrt{e}$），F（-2）=b=-2f（-2）=F（2），F（ln$\frac{1}{2}$）=c=（ln$\frac{1}{2}$）f（ln$\frac{1}{2}$）=F（ln2），
∵ln$\sqrt{e}$＜ln2＜2，
∴F（ln$\sqrt{e}$）＜F（ln2）＜F（2）．
即a＜c＜b
故選：B．

點評 本題考查了導數在函數單調性的運用，根據給出的式子，得出需要的函數，運用導數判斷即可，屬于中檔題．