Question

3．大學生趙敏利用寒假參加社會實踐，對機械銷售公司7月份至12月份銷售某種機械配件的銷售量及銷售單價進行了調查，銷售單價x和銷售量y之間的一組數據如表所示：

月份i	7	8	9	10	11	12
銷售單價xi（元）	9	9.5	10	10.5	11	8
銷售量yi（件）	11	10	8	6	5	14

（1）根據7至11月份的數據，求出y關于x的回歸直線方程；
（2）若由回歸直線方程得到的估計數據與剩下的檢驗數據的誤差不超過0.5元，則認為所得到的回歸直線方程是理想的，試問（1）中所得到的回歸直線方程是否理想？
（3）預計在今后的銷售中，銷售量與銷售單價仍然服從（1）中的關系，若該種機器配件的成本是2.5元/件，那么該配件的銷售單價應定為多少元才能獲得最大利潤？（注：利潤=銷售收入-成本）．
參考公式：回歸直線方程$\hat y=\hat bx+\hat a$，其中$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n•\overline x•\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$，參考數據：$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}=392，}\sum_{i=1}^n{x_i^2=502.5}$．

Answer 1

分析 （1）計算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回歸系數，寫出回歸直線方程；
（2）根據回歸直線方程，計算對應的數值，判斷回歸直線方程是否理想；
（3）求銷售利潤函數W，根據二次函數的圖象與性質求最大值即可．

解答 解：（1）因$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（9+9.5+10+10.5+11）=10，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（11+10+8+6+5）=8，
所以$\hat b=\frac{392-5×10×8}{{502.5-5×{{10}^2}}}=-3.2$，
則$\hat a=8-（{-3.2}）×10=40$，
于是y關于x的回歸直線方程為$\hat y=-3.2x+40$；
（2）當x=8時，$\hat y=-3.2×8+40=14.4$，
則$|{\hat y-y}|=14.4-14=0.4＜0.5$，
所以可以認為所得到的回歸直線方程是理想的；
（3）令銷售利潤為W，則
W=（x-2.5）（-3.2x+40）=-3.2x²+48x-100（2.5＜x＜12.5），
因為$W=3.2x（{-x+15}）-100≤3.2×{（{\frac{x-x+15}{2}}）^2}-100=80$，
當且僅當x=-x+15，即x=7.5時，W取最大值；
所以該產品的銷售單價定為7.5元/件時，獲得的利潤最大．

點評 本題考查了線性回歸方程的求法與應用問題，是綜合題．