Question

8．定義在（0，+∞）上函數f（x）滿足：①當x∈[1，3）時，f（x）=1-|x-2|；②f（3x）=3f（x）．設關于x的函數F（x）=f（x）-a的零點從小到大依次為x₁，x₂，…，x_n…．若a∈（1，3），則x₁+x₂+…+x_2n=6（3ⁿ-1）．

Answer 1

分析 根據f（3x）=3f（x）得出f（x）在（3ⁿ，3ⁿ⁺¹）上的對稱軸，根據對稱性求出零點之和．

解答 解：∵當x∈[1，3）時，f（x）=1-|x-2|，
∴f（x）在（1，3）上的函數圖象關于直線x=2對稱，
∵f（3x）=3f（x），
∴f（x）在（3，9）上的圖象關于直線x=6對稱．
同理可得：f（x）在（3ⁿ，3ⁿ⁺¹）上的圖象關于直線x=2•3ⁿ對稱，
∵f（2）=1＜a，f（6）=3f（2）=3＞a，
∴F（x）在（0，3）上無零點，
∴x₁+x₂=2•2•3=4•3，x₃+x₄=2•2•3²=4•3²，…，x_2n-1+x_2n=4•3ⁿ，
∴x₁+x₂+…+x_2n=4×3+4×3²+…+4×3ⁿ=4×$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$=6（3ⁿ-1）．
故答案為：6（3ⁿ-1）．

點評 本題考查了函數的圖象與性質、區間轉換、對稱性、等比數列的前n項和公式等基礎知識與基本技能，屬于難題．