Question

9．已知函數$f（x）=\frac{{{{log}_3}（{x+1}）}}{x+1}（{x＞0}）$的圖象上有一點列P_n（x_n，y_n）（n∈N^*），點P_n在x軸上的射影是Q_n（x_n，0），且x_n=3x_n-1+2（n≥2且n∈N^*），x₁=2．
（1）求證：{x_n+1}是等比數列，并求出數列{x_n}的通項公式；
（2）對任意的正整數n，當m∈[-1，1]時，不等式$3{t^2}-6mt+\frac{1}{3}＞{y_n}$恒成立，求實數t的取值范圍；
（3）設四邊形P_nQ_nQ_n+1P_n+1的表面積是S_n，求證：$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{{2{S_2}}}+…+\frac{1}{{n{S_n}}}＜3$．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件推出x_n+1}是首項為3，公比為3的等比數列．然后求解通項公式．
（2）判斷數列{y_n}單調遞減，推出當n=1時，y_n取得最大值為$\frac{1}{3}$．不等式$3{t^2}-6mt+\frac{1}{3}＞{y_n}$恒成立，轉化為：$3{t^2}-6mt+\frac{1}{3}＞{（{y_n}）_{max}}=\frac{1}{3}$，即t²-2mt＞0，對任意m∈[-1，1]恒成立，列出不等式求解即可．
（3）推出$|{{P_n}{Q_n}}|=\frac{n}{3^n}$，表示四邊形P_nQ_nQ_n+1P_n+1的面積為${S_n}=\frac{1}{2}（{|{{P_{n+1}}{Q_{n+1}}}|+|{{P_n}{Q_n}}|}）|{{Q_n}{Q_{n+1}}}|$利用裂項求和求解即可．

解答 （1）解：由x_n=3x_n-1+2（n≥2且n∈N^*）得x_n+1=3（x_n-1+1）（n≥2且n∈N^*）
∵x₁+1=3，∴x_n+1≠0，∴$\frac{{{x_n}+1}}{{{x_{n-1}}+1}}=3$，（n≥2且n∈N^*）
∴{x_n+1}是首項為3，公比為3的等比數列．
∴${x_n}+1=（{{x_1}+1}）{3^{n-1}}={3^n}$．
∴${x_n}={3^n}-1$，n∈N^*．
（2）∵${y_n}=f（{x_n}）=\frac{{{{log}_3}（{{3^n}-1+1}）}}{{{3^n}-1+1}}=\frac{n}{3^n}$，
∵$\frac{{{y_{n+1}}}}{y_n}=\frac{n+1}{{{3^{n+1}}}}•\frac{3^n}{n}=\frac{n+1}{3n}$，n∈N^*，又3n=n+1+2n-1＞n+1＞1，
∴$\frac{{{y_{n+1}}}}{y_n}＜1$故數列{y_n}單調遞減，（此處也可作差y_n+1-y_n＜0證明數列{y_n}單調遞減）
∴當n=1時，y_n取得最大值為$\frac{1}{3}$．
要使對任意的正整數n，當m∈[-1，1]時，不等式$3{t^2}-6mt+\frac{1}{3}＞{y_n}$恒成立，
則須使$3{t^2}-6mt+\frac{1}{3}＞{（{y_n}）_{max}}=\frac{1}{3}$，即t²-2mt＞0，對任意m∈[-1，1]恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{t^2}-2t＞0\\{t^2}+2t＞0\end{array}\right.$，解得t＞2或t＜-2，
∴實數t的取值范圍為（-∞，-2）∪（2，+∞）．
（3）$|{{Q_n}{Q_{n+1}}}|=（{{3^{n+1}}-1}）-（{{3^n}-1}）=2•{3^n}$，而$|{{P_n}{Q_n}}|=\frac{n}{3^n}$，
∴四邊形P_nQ_nQ_n+1P_n+1的面積為${S_n}=\frac{1}{2}（{|{{P_{n+1}}{Q_{n+1}}}|+|{{P_n}{Q_n}}|}）|{{Q_n}{Q_{n+1}}}|$=$\frac{1}{2}（{\frac{n+1}{{{3^{n+1}}}}+\frac{n}{3^n}}）•2•{3^n}=\frac{4n+1}{3}$$\frac{1}{{n{S_n}}}=\frac{3}{{n（{4n+1}）}}=\frac{12}{{4n（{4n+1}）}}=12（{\frac{1}{4n}-\frac{1}{4n+1}}）＜12（{\frac{1}{4n}-\frac{1}{4n+4}}）=3（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）$$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{{2{S_2}}}+…+\frac{1}{{n{S_n}}}＜3（{1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）=3（{1-\frac{1}{n+1}}）＜3$，
∴故$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{{2{S_2}}}+…+\frac{1}{{n{S_n}}}＜3$．

點評 本題考查數列的遞推關系式的應用，數列是單調性以及數列求和的應用，考查計算能力．