Question

10．已知函數f（x）=a^x+x²-xlna-b（b∈R，a＞0且a≠1），e是自然對數的底數，
（1）討論函數f（x）在（0，+∞）上的單調性
（2）當a＞1時，若存在x₀∈[-1，1]，使得f（x₀）≤e-1，求實數b的取值范圍．（參考公式：（a^x）'=a^xlna）

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；
（2）求出函數的導數，通過討論x的范圍，求出f（x）的最小值，得到關于b的不等式，解出即可．

解答 解：（1）f'（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，
當a＞1時，lna＞0，當x∈（0，+∞）時，2x＞0，a^x＞1，∴a^x-1＞0，
所以f'（x）＞0，故函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
當0＜a＜1時，lna＜0，當x∈（0，+∞）時，2x＞0，a^x＜1，∴a^x-1＜0，
所以f'（x）＞0，故函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
綜上，f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
（2）f'（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，
①當x＞0時，由a＞1，可知a^x-1＞0，lna＞0，∴f'（x）＞0；
②當x＜0時，由a＞1，可知a^x-1＜0，lna＞0，∴f'（x）＜0；
③當x=0時，f'（x）=0，∴f（x）在[-1，0]上遞減，在[0，1]上遞增，
∴當x∈[-1，1]時，f（x）_min=f（0）=1-b，
若存在x₀∈[-1，1]，使得f（x₀）≤e-1，
即f（x）_min≤e-1即可，故1-b≤e-1，
解得：b≥2-e．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道中檔題．