Question

13．已知函數f（x）=x²+2xtanθ-1，x∈[-1，$\sqrt{3}$]，其中θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）
（1）當θ=-$\frac{π}{6}$時，求函數的最大值和最小值；
（2）求θ的取值范圍，使y=f（x）在區間[-1，$\sqrt{3}$]上是單調函數（在指定區間為增函數或減函數稱為該區間上的單調函數）．

Answer 1

分析 （1）求出函數的解析式，根據二次函數的性質求出函數的最大值和最小值即可；
（2）根據二次函數的性質得到函數f（x）的單調性，求出tanθ的范圍，求出θ的范圍即可．

解答 解：（1）當θ=-$\frac{π}{6}$時，
f（x）=x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-1=（x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²-$\frac{4}{3}$．
∵x∈[-1，$\sqrt{3}$]，
∴當x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時，f（x）的最小值為-$\frac{4}{3}$，
當x=-1時，f（x）的最大值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
（2）f（x）=（x+tanθ）²-1-tan²θ是關于x的二次函數，
它的圖象的對稱軸為x=-tanθ，
∵y=f（x）在區間[-1，$\sqrt{3}$]上是單調函數，
∴-tanθ≤-1，或-tanθ≥$\sqrt{3}$，即tanθ≥1，或tanθ≤-$\sqrt{3}$．
∵θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
∴θ的取值范圍是[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）∪（-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{3}$]．

點評 本題考查了二次函數的性質以及三角函數的性質，是一道中檔題．