Question

17．設a≥0，若y=sin²x-acosx+b的最大值為0，最小值為-4，試求a與b的值，并求出使y取得最大、最小值時的x值．

Answer 1

分析 原函數變形為y=sin²x-acosx+b=1-cos²x-acosx+b=-（cosx+$\frac{a}{2}$）²+$\frac{{a}^{2}}{4}$+b+1，根據它的最值、利用二次函數的性質、分類討論求得a、b的值．

解答 解：原函數變形為y=sin²x-acosx+b=1-cos²x-acosx+b
=-（cosx+$\frac{a}{2}$）²+$\frac{{a}^{2}}{4}$+b+1
∵-1≤cosx≤1，a≥0
∴若0≤a≤2，當cosx=-$\frac{a}{2}$時，
y_max=1+b+$\frac{a^2}{4}$=0     ①，
當cosx=1時，y_min=-${（1+\frac{a}{2}）^2}+1+b+\frac{a^2}{4}$=-a+b=-4         ②，
聯立①②式解得a=2，b=-2，
y取得最大、小值時的x值分別為：x=2kπ-π（k∈Z），x=2kπ（k∈Z），
若a＞2時，$\frac{a}{2}$∈（1，+∞）
∴y_max=-${（1-\frac{a}{2}）^2}+1+b+\frac{a^2}{4}=a+b$=0  ③
y_min=-${（1+\frac{a}{2}）^2}+1+b+\frac{a^2}{4}=-a+b=-4$④
由③④得a=2時，舍去，
綜上所述a=2，b=-2，y取得最大、小值時的x值分別為：x=2kπ-π（k∈Z），x=2kπ（k∈Z），

點評 本題主要考查余弦函數的值域，二次函數的性質，體現了轉化、分類討論的數學思想，屬于中檔題