Question

12．設f（x）=4sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$．
（1）求f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值；
（2）把y=f（x）的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再把得到的圖象向左平移$\frac{2π}{3}$個單位，得到函數y=g（x）的圖象，求g（x）的單調減區間．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數的單調性與值域即可得出．
（2）利用坐標變換得到$y=4sin（x+\frac{π}{3}）+\sqrt{3}$的圖象．可得$g（x）=4sin（x+\frac{π}{3}）+\sqrt{3}$．再利用三角函數的單調性即可得出．

解答 解：（1）f（x）=4sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$．
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴$-\frac{π}{3}≤2x-\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$
sin（2x-$\frac{π}{3}$）=1時，f（x）取得最大值4+$\sqrt{3}$；sin（2x-$\frac{π}{3}$）=$sin（-\frac{π}{3}）$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$時，函數f（x）取得最小值-$\sqrt{3}$． 
（2）把y=f（x）的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到$y=4sin（x-\frac{π}{3}）+\sqrt{3}$的圖象．
再把得到的圖象向左平移$\frac{2π}{3}$個單位，得到$y=4sin（x+\frac{π}{3}）+\sqrt{3}$的圖象．
∴$g（x）=4sin（x+\frac{π}{3}）+\sqrt{3}$．  
由$2kπ+\frac{π}{2}≤x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{3π}{2}⇒$$2kπ+\frac{π}{6}≤x≤2kπ+\frac{7π}{6}$．
∴g（x）的單調減區間是$[2kπ+\frac{π}{6}，2kπ+\frac{7π}{6}]（k∈Z）$．

點評 本題考查了三角函數的單調性與值域、坐標變換，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．