Question

3．當x＞1時不等式$\frac{{{x^2}-x+1}}{x-1}≥a$恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，3]
• B． [3，+∞）
• C． （-∞，2]
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 化簡不等式的左側，利用基本不等式求出表達式的最小值，然后求出a的范圍．

解答 解：當x＞1時，表達式$\frac{{x}^{2}-x+1}{x-1}$=（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+1≥2$\sqrt{（x-1）（\frac{1}{x-1}）}$+1=3，當且僅當x=2時取等號．
當x＞1時，不等式$\frac{{{x^2}-x+1}}{x-1}≥a$恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是a≤3．
故選：A．

點評 本題考查函數(shù)恒成立，基本不等式的應用，考查分析問題解決問題的能力．