Question

13．已知圓O：x²+y²=1，圓M：（x-a）²+（y-$\sqrt{3}$a）²=1．若圓M上存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點為A，B，使得∠APB=60°，則實數a的取值范圍為$[{\frac{1}{2}，\frac{3}{2}}]∪[{-\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}}]$．

Answer 1

分析 求出P點軌跡是圓x²+y²=4，題意即圓M：（x-a）²+（y-$\sqrt{3}$a）²=1與圓x²+y²=4有公共點，得到關于a的不等式求得答案．

解答 解：圓O的半徑為1，圓M上存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點為A，B，使得∠APB=60°，
則∠APO=30°，在Rt△PAO中，PO=2，P點軌跡是圓x²+y²=4
題意即圓M：（x-a）²+（y-$\sqrt{3}$a）²=1與圓x²+y²=4有公共點．
∴$1≤\sqrt{{a^2}+3{a^2}}≤3$
∴a∈$[{\frac{1}{2}，\frac{3}{2}}]∪[{-\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}}]$．
故答案為：$[{\frac{1}{2}，\frac{3}{2}}]∪[{-\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}}]$．

點評 本題主要考查直線和圓的位置關系的應用，利用數形結合將條件進行等價轉化是解決本題的關鍵，是中檔題．