Question

5．已知雙曲線的漸近線的方程為y=±$\sqrt{2}$x，并經過點P（2，$\sqrt{2}$）．
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）經過雙曲線的右焦點F₂且傾斜角為30°的直線l交雙曲線于A、B兩點，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）由題意設雙曲線方程為${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}$=λ，代入點P，即可求雙曲線的標準方程；
（2）經過的雙曲線右焦點F₂作傾斜角為30°直線l的方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-3），聯(lián)立雙曲線得5x²+6x-27=0，利用弦長公式，即可求|AB|．

解答 解：（1）由題意設雙曲線方程為${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}$=λ，則4-1=λ，∴λ=3，
∴雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{6}$=1；
（2）雙曲線$\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{6}$=1的右焦點為F₂（3，0），
∴經過的雙曲線右焦點F₂作傾斜角為30°直線l的方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-3），
聯(lián)立雙曲線得5x²+6x-27=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{6}{5}$，x₁x₂=-$\frac{27}{5}$，
|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{3}}•\sqrt{（-\frac{6}{5}）^{2}-4×（-\frac{27}{5}）}$=$\frac{16\sqrt{3}}{5}$．

點評 本題考查直線與雙曲線的位置關系，考查雙曲線的方程與性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．